Quina és la probabilitat de trobar-te algú per pur atzar?

L'altre dia estava llegint un relat del bloc d'en Maurici basat en les persones que ens trobem per casualitat (no és exactament això però ho explico així per no explicar el final). I em va venir al cap la pregunta de com n'era de probable trobar-te algú per casualitat. És una pregunta que segur que molts ens hem fet algun cop quan ens trobem algú que no veiem des de feia anys i diem "ostres tu, quina casualitat!".

És un tema que també és bastant típic de les pel·lícules romàntiques. Noi coneix a noia, s'enamoren i després es perden de vista. Més tard es retroben de casualitat, llavors s'emboliquen, es barallen i es perden de vista de nou. Finalment es tornen a trobar, llavors hi ha el moment emotiu, ell l'abraça, es fan un petó i viuen feliços i tot això. Hi ha una certa tendència a fer de la casualitat un article de consum en temes romàntics.

Anem doncs a resoldre el problema. En primer lloc cal advertir a tothom que ens trobem a punt de resoldre un problema de mates. Sí, sé que els més llestos ja ho havíeu deduït però, per si de cas, prefereixo avisar. (Consell per a alumnes dropos --> Si t'avorreixes de l'explicació, pots anar directament al penúltim paràgraf, on hi ha la solució. De res.)

Començarem definint unes simplificacions que ens permetran resoldre el problema amb matemàtiques del batxillerat (o de l'ESO, que jo en això ja vaig desfasat). Seran les següents:

• Limitem les persones a les d'una població o zona. Per exemple, Barcelona i les seves poblacions limítrofes. És cert que podem trobar-nos casualment gent d'altres ciutats però no ho tindrem en compte.
• Definim que és igual de probable trobar-nos qualsevol de les persones d'aquesta població. Això estrictament no és cert, ja que és més probable trobar-nos gent que viu o treballa a prop que gent que viu a l'altra punta de la ciutat. O gent que surt molt al carrer que d'altres que estan tancats sempre a casa. Però si no fem aquesta simplificació els càlculs es complicarien molt.
• Considerem que, un cop vista una persona per atzar, és igual de probable que la tornem a veure a ella o que veiem a qualsevol altra. És a dir, els esdeveniments són independents. Això no és ben bé una simplificació perquè s'ajusta bastant a la realitat.

Per fer-ho tot més senzill encara, començarem imaginant-nos un poble de cent persones on cada dia veiem una sola persona. Quina probabilitat tindrem de veure la persona desitjada el primer dia?

Per calcular això, fem servir la Llei de Laplace, que diu que la probabilitat és igual als casos favorables (per a nosaltres és una única persona, la que busquem) dividit entre els casos possibles (que són els 100 habitants del poble). Així doncs, la probabilitat seria 1/100 = 0,01 = 1%

El sentit comú ens diu que si no hem tingut sort, la probabilitat pujarà a mesura que anem sumant dies. El segon dia, haurem vist dues persones, per tant la probabilitat es doblarà, no? I al cap de 100 dies serà 100 vegades més gran i per tant serà del 100%, no?

Doncs no. El segon dia la probabilitat quasi es doblarà. I al cap de 100 dies és possible que haguem vist tres o quatre vegades a una persona i a una altra cap. Per tant no és 100% segur haver vist la persona que busquem. Això seria com dir que si llencem una moneda a l'aire dos cops, és segur que en un dels dos casos sortirà una cara.

Per resoldre aquest problema necessitarem fer ús dels diagrames en arbre. La idea és senzilla. Cada cop que té lloc un esdeveniment (en el nostre cas, cada cop que trobem una persona), surten dues o més branques, en funció de les diferents opcions (en el nostre cas, una branca per l'esdeveniment "persona que busquem" i una altra per a "persona que no busquem") i a cada branca s'hi escriu la probabilitat (1/100 i 99/100). Per al següent esdeveniment, es tornen a crear dues branques, amb les corresponents probabilitats (que tornen a ser 1/100 i 99/100).

Exemple de diagrama d'arbre per al llençament de tres monedes, obtingut d'aquí.


Per calcular les probabilitats del segon dia, hem de multiplicar les probabilitats de cada branca. En el nostre cas tindríem:

Probabilitat de veure la persona buscada els dos dies = 1/100 * 1/100 = 1/10.000 = 0,01%

Probabilitat de veure la persona buscada el primer dia sí i el segon no = 1/100 * 99/100 = 99/10.000 = 0,99%

Probabilitat de veure la persona buscada el primer dia no i el segon sí = 99/100 * 1/100  = 99/10.000 = 0,99%

Probabilitat de no veure la persona buscada cap dia = 99/100 * 99/100 = 9.801/10.000 =98,01%

Donat que el que ens plantejàvem era quina probabilitat hi havia de veure la persona desitjada algun dels dos dies, les tres primeres opcions són vàlides i per tant, sumant les probabilitats ens donaria el resultat buscat (0,01%+0,99%+0,99% = 1,99%).

Si seguiu aquest procediment per a 3, 4, 5,.., 10, o 100 dies veureu que comença a ser molt tediós i hi ha molts càlculs perquè hem d'acabar sumant totes les opcions vàlides (que són totes les branques de l'arbre menys una, la que representa la probabilitat de no haver vist cap dia la persona desitjada).

Arribats a aquest punt, per sort, tenim una drecera. Podem calcular només la probabilitat de no veure la persona desitjada. Un cop obtinguda, fem 100% menys aquesta probabilitat i tindrem la probabilitat que busquem. Això és així perquè la suma de totes les branques ha de donar sempre 100% (si ho hem fet bé, és clar).

Per tant, la probabilitat de no veure la persona buscada serà 99/100* 99/100 *... (tantes vegades com dies passin). Això es pot resumir en 99/100 elevat a n (n=dies que passen). Això ens facilita molt la feina, perquè ho podem posar en un Excel i anar canviant la cel·la que conté els dies per tal de veure com varia la probabilitat.

A més, podem canviar els altres paràmetres. He fet l'Excel intentant simular els paràmetres del relat del Maurici (ciutat de 2 milions d'habitants, veient 1000 persones al dia) i al cap de 10 anys, la probabilitat de veure una persona en concret seria del 83,88%. Al cap de 20 anys, la probabilitat pujaria fins al 97,40%.

He intentat inserir un Excel aquí, de forma que els lectors poguéssiu provar diferents condicions però no he estat capaç. En comptes d'això, ens haurem de conformar amb un enllaç. He bloquejat les cel·les amb fórmules però si les voleu veure, les podeu desbloquejar sense contrasenya.