dimecres, 8 de febrer de 2012

Resposta al problema de l'eclipsi

Ja que aquest bloc aspira a ser participatiu i un dels seus lectors ha contestat de forma encertada a la pregunta plantejada en l'anterior post, dividirem aquest text en dues parts, una per a cada resposta.

Resposta del Sergi o procediment "com es fan les coses petites a mesura que ens n'allunyem".

Partim del fet que els objectes es fan petits a mesura que ens n'allunyem i definim la distància de l'eclipsi com aquella que fa que la Terra i el Sol tinguin exactament la mateixa mida aparent.

El primer que se'm va acudir per resoldre el problema va ser intentar esbrinar de quina manera es feia petit el sol a mesura que ens n'allunyavem. Això ho podia haver buscat al google però per fer-ho més didàctic he dissenyat un petit experiment d'estar per casa (mai més ben dit).

L'experiment:
Material necessari:
-Una tapa de pot de melmelada (o qualsevol altre objecte de forma circular de mida similar)
-Un terra de rajoles.
-Una càmera de fotos digital.

Procediment:
Situem la tapa sobre una de les línies de la rajola i la càmera de fotos sobre la següent (a una distància d'una rajola). Fem una foto. Col·loquem la càmera a dues rajoles de distància i fem una segona foto. Repetim fins a tenir 5 o 6 fotografies separades proporcionalment.












A partir d'aquí el que farem serà mesurar la mida aparent (concretament el diàmetre) del nostre sol des de les diferents distàncies. Per fer això, hem retallat totes les tapes i les hem col·locat en un arxiu del programa Paint. Mitjançant l'eina quadricula les col·loquem alineades i amb l'eina regle mesurarem el seu diàmetre en píxels.


Després anotem els diàmetres aparents segons la distància (en rajoles) de l'objecte a la càmera.

distància (en rajoles)

--------------------
diàmetre aparent (en píxels)
----------------------
1 100
2 50
3 34
4 25
5 20

Si observem les dades, veiem que quan la distància es duplica, el diàmetre aparent es redueix a la meitat. Si es triplica, es redueix a un terç, etc. Això vol dir que la distància i el diàmetre aparent són inversament proporcionals.

És a dir, que per tal que el diàmetre aparent del Sol sigui igual al de la Terra, hauríem d'estar a una distància que compensés la diferència de diàmetre real.

Dividint el diàmetre del Sol (1.392.000 km) pel de la Terra (12.742 km) obtenim que el diàmetre del Sol és 109,25 vegades més gran. Per tant, per tenir diàmetres aparents iguals, el punt que busquem està situat 109,25 vegades més lluny del Sol que de la Terra.

¿A quants km de la Terra està situat aquest punt?

Agafo un moment el gràfic d'en Jeremies per il·lustrar el càlcul:

La distància Terra-Punt de l'eclipsi seria x.
La distància Sol-Punt de l'eclipsi seria 150 milions +x
Si la primera és 109,25 vegades més petita que la segona, això vol dir que:

150+x = 109,25x

I per tant x = 1,38 milions de km


Resposta del Jeremies (resolució trigonomètrica)

La resolució d'en Jeremies arriba a la solució de forma ràpida i elegant, fent servir les raons trigonomètriques. Tornem al dibuix anterior:


Per resoldre el problema, en Jeremies dibuixa dues rectes tangents al sol i la Terra que s'uneixen en el punt d'observació. Després dibuixa els radis dels cossos celests perpendiculars a una de les rectes tangents. Amb això aconsegueix 2 triangles rectangles amb els mateixos angles.

A partir d'aquí escriu les dues equacions del sinus dels dos triangles i la que relaciona les distàncies entre el Sol, la Terra i el punt de l'eclipsi:

Rs /AC = Sin(alfa)

Rt/ BC = Sin(alfa)

AC = AB + BC

on:

AB distància Terra-Sol
Rs Radi del sol
Rt Radi de la Terra

(tots són valors coneguts)

Com que l'angle dels dos triangles és el mateix, el valor del sinus de l'angle també és el mateix i es poden igualar les primeres dues equacions:

Rs/ AC = Rt / BC

D'aquí podem aïllar fàcilment BC, que és la distància de la Terra al Punt d'eclipsi, el resultat que busquem:

BC= Rt*AC / Rs
BC= 6.371 * 149.597.871 / 696.000 = 1,37 milions de km.

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada